ecuación punto pendiente

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

(x-x1) . v2 =(y-y1) . v1

y-y1=  v2   (x-x1)

           v1  

Como: 

m: y1−y2

    x1−x2 

Se obtiene:

y−y1: m(x−x1) 

Ejemplos

Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(−2, −3) y B(4,2).

Formulario 

*Ecuación punto pendiente:  

                                   y−y₁: m(x−x₁)

*Ecuación de la 

pendiente:  

                                             m: y1−y2

                                           x1−x2

  

Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x₁,y₁) y (x₂,y₂), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Ejemplos 

encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, -2) y (1,2)

encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (-1,0) y (1, 4)

Inclinacion de rectas

Inclinacion de rectas

View more presentacion de marco.

Distancia Entre Dos Puntos

En la figura siguiente observamos el punto P₁ está ubicada en coordenadas (x₁, y₁) y el punto P₂  está ubicado en las coordenadas (x₂, y₂).

La distancia P₁R se obtiene restando X₂ - X₁. La distancia RP₂ se obtiene restando y₂ – y₁. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia P₁P₂.

Entonces la distancia entre los puntos P₁ y P₂ es:

Esta distancia siempre se tomara como positiva.

 Es importante observar que es indistinto y no importa cuál punto se elija como el punto número 1 y cuál se elija como el punto número 2. Sí se hubieran elegido al revés, la fórmula quedaría: (P₁P₂) = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

Pero el resultado final sería el mismo ya que al elevar las diferencias al cuadrado, los resultados siguen siendo positivos.

         Ejemplos:

1. Hallar la distancia entre los puntos A(3, 4) y B(–3, –2).

 Solución: Sustituimos en la fórmula los valores x₁=2   x₂=7   y₁=1  y₂=2 tenemos:

               _____________________

(P₁P₂) = √ ( 2 + 7 ) ² + ( 2 + 1 ) ²

   ______________________

(P₁P₂) = √ ( 3 + 3 ) ² + ( 4 + 2 ) ²

      _______________

(P₁P₂) = √ ( 6  )² + ( 6 ) ²

                ________

(P₁P₂) = √ 36 + 36

               ____

(P₁P₂) = √ 72

(P₁P₂) = 8.48

2. Demostrar que los puntos A(2, 1), B (7, 2) son colineales.

Solución: Sustituimos en la fórmula los valores x₁=2   x₂=7   y₁=1  y₂=2 tenemos:

               ______________________

(P₁P₂) = √ ( 2 + 7 ) ² + ( 2 + 1 ) ²  

      ______________

(P₁P₂) = √ ( 9 )² + ( 3 ) ²

               ________

(P₁P₂) = √ 81 + 9

               ____

(P₁P₂) = √ 90 

(P₁P₂) = 9.48

·         Ejercicios:

Encuentra la distancia entre cada par de puntos:

a)    A(–4, 4) y B(4, 4)

b)   C(–8, –5) y D(–3, –5)

c)    E(0, –2) y F(7, –2)

d)   G(3, –4) y H(3, 3)

 Respuestas de los ejercicios:

a)    A(–4, 4) y B(4, 4)

        _____________________

(P₁P₂) = √ ( 4 + 4 ) ² + ( 4 –4 ) ²

                 ______________

 (P₁P₂) = √ ( 8 ) ² + ( 0 ) ²

               _____

(P₁P₂) = √ 64

(P₁P₂) = 8

b)    C(–8, –5) y D(–3, –5)

      ________________________

(P₁P₂) = √ ( –3 + 8 ) ² + ( –5 + 5 ) ²

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 5 ) ² + ( 0 ) ²  

                ____

(P₁P₂) = √ 25

(P₁P₂) = 5

c)    E(0, –2) y F(7, –2)

      ______________________

(P₁P₂) = √ ( –2 + 2 ) ² + ( 7 – 0 ) ²  

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 0 ) ² + ( 7 ) ²

               ____

(P₁P₂) = √ 49

a)    G(3, –4) y H(3, 3)

        _____________________

(P₁P₂) = √ ( 3 – 3 ) ² + ( 3 + 4 ) ²

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 0 ) ² + ( 7 ) ²  

               _____

(P₁P₂) = √ 49

(P₁P₂) = 7

Bibliografía:

Matemáticas 3/ Miguel Ángel García Licona. – México : Fernández Editores, 2008