Inclinacion de rectas

Inclinacion de rectas

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Distancia Entre Dos Puntos

En la figura siguiente observamos el punto P₁ está ubicada en coordenadas (x₁, y₁) y el punto P₂  está ubicado en las coordenadas (x₂, y₂).

La distancia P₁R se obtiene restando X₂ - X₁. La distancia RP₂ se obtiene restando y₂ – y₁. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia P₁P₂.

Entonces la distancia entre los puntos P₁ y P₂ es:

Esta distancia siempre se tomara como positiva.

 Es importante observar que es indistinto y no importa cuál punto se elija como el punto número 1 y cuál se elija como el punto número 2. Sí se hubieran elegido al revés, la fórmula quedaría: (P₁P₂) = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

Pero el resultado final sería el mismo ya que al elevar las diferencias al cuadrado, los resultados siguen siendo positivos.

         Ejemplos:

1. Hallar la distancia entre los puntos A(3, 4) y B(–3, –2).

 Solución: Sustituimos en la fórmula los valores x₁=2   x₂=7   y₁=1  y₂=2 tenemos:

               _____________________

(P₁P₂) = √ ( 2 + 7 ) ² + ( 2 + 1 ) ²

   ______________________

(P₁P₂) = √ ( 3 + 3 ) ² + ( 4 + 2 ) ²

      _______________

(P₁P₂) = √ ( 6  )² + ( 6 ) ²

                ________

(P₁P₂) = √ 36 + 36

               ____

(P₁P₂) = √ 72

(P₁P₂) = 8.48

2. Demostrar que los puntos A(2, 1), B (7, 2) son colineales.

Solución: Sustituimos en la fórmula los valores x₁=2   x₂=7   y₁=1  y₂=2 tenemos:

               ______________________

(P₁P₂) = √ ( 2 + 7 ) ² + ( 2 + 1 ) ²  

      ______________

(P₁P₂) = √ ( 9 )² + ( 3 ) ²

               ________

(P₁P₂) = √ 81 + 9

               ____

(P₁P₂) = √ 90 

(P₁P₂) = 9.48

·         Ejercicios:

Encuentra la distancia entre cada par de puntos:

a)    A(–4, 4) y B(4, 4)

b)   C(–8, –5) y D(–3, –5)

c)    E(0, –2) y F(7, –2)

d)   G(3, –4) y H(3, 3)

 Respuestas de los ejercicios:

a)    A(–4, 4) y B(4, 4)

        _____________________

(P₁P₂) = √ ( 4 + 4 ) ² + ( 4 –4 ) ²

                 ______________

 (P₁P₂) = √ ( 8 ) ² + ( 0 ) ²

               _____

(P₁P₂) = √ 64

(P₁P₂) = 8

b)    C(–8, –5) y D(–3, –5)

      ________________________

(P₁P₂) = √ ( –3 + 8 ) ² + ( –5 + 5 ) ²

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 5 ) ² + ( 0 ) ²  

                ____

(P₁P₂) = √ 25

(P₁P₂) = 5

c)    E(0, –2) y F(7, –2)

      ______________________

(P₁P₂) = √ ( –2 + 2 ) ² + ( 7 – 0 ) ²  

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 0 ) ² + ( 7 ) ²

               ____

(P₁P₂) = √ 49

a)    G(3, –4) y H(3, 3)

        _____________________

(P₁P₂) = √ ( 3 – 3 ) ² + ( 3 + 4 ) ²

                ______________

(P₁P₂) = √ ( 0 ) ² + ( 7 ) ²  

               _____

(P₁P₂) = √ 49

(P₁P₂) = 7

Bibliografía:

Matemáticas 3/ Miguel Ángel García Licona. – México : Fernández Editores, 2008